Cực Trị Hàm Số là Gì?

Trong lĩnh vực giải tích, cực trị của một hàm số đề cập đến giá trị tối đa hoặc tối thiểu của hàm số trên một miền xác định. Điểm cực trị của hàm số có thể là điểm địa phương cực đại (tối đa địa phương) hoặc điểm địa phương cực tiểu (tối thiểu địa phương) trên miền xác định.

Cực Trị Hàm Số Bậc Ba

Đối với hàm số bậc ba, các điểm cực trị thường xuất hiện ở các đầu mút của đồ thị. Nếu hàm số bậc ba có hệ số của thành phần bậc ba là dương, thì điểm cực tiểu của hàm số nằm ở đầu mút đồ thị có giá trị nhỏ nhất, và điểm cực đại của hàm số nằm ở đầu mút đồ thị có giá trị lớn nhất. Nếu hệ số của thành phần bậc ba là âm, thì điểm cực tiểu và cực đại sẽ đổi chỗ. Đồ thị của hàm số bậc ba còn có thể có điểm uốn lên trên (lồi) hoặc xuống dưới (lõm), nhưng không phải là điểm cực trị.

Tầm Quan Trọng của Cực Trị Hàm Số

Việc tìm điểm cực trị của một hàm số đóng vai trò quan trọng trong giải tích. Đặc biệt, nó giúp chúng ta xác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số trên một miền xác định. Ngoài ra, nó cũng giúp chúng ta hiểu thêm về đồ thị của hàm số và các tính chất của nó như độ lớn, độ dốc, điểm uốn, vv.

Ảnh: HEFC

Công Thức Tính Cực Trị Của Hàm Số Bậc Ba Cực Hay

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = 3ax^2+ 2bx + c. Tìm nghiệm của phương trình y’ = 0 để xác định vị trí của các điểm cực trị. Để hàm số có cực đại và cực tiểu, phương trình y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt. Ta có a ≠ 0 và Δ ≠ 0, vì vậy giá trị của tham số cần tìm thuộc một miền D nào đó.

Bước 2: Từ điều kiện bài toán cho trước, ta có một phương trình hoặc một bất phương trình theo tham số cần tìm. Giải phương trình này để tìm giá trị của tham số. Sau đó, đối chiếu với điều kiện của tham số và kết luận về vị trí của các điểm cực trị của hàm số.

Với công thức tính cực trị hàm số bậc ba này, bạn có thể giải quyết nhanh chóng các bài toán liên quan đến cực trị hàm số bậc ba một cách chính xác và hiệu quả.

Các Điều Kiện Thường Gặp Của Bài Toán Cực Trị Hàm Số Bậc Ba

Điều Kiện Để Hàm Số Bậc Ba Có Hai Cực Trị

Để hàm số y = f(x) có hai cực trị, ta cần thỏa mãn điều kiện a ≠ 0 và Δ > 0.

Điều Kiện Để Hai Cực Trị Của Hàm Số Nằm Về Hai Phía Đối Nhau Của Trục Hoành/Tung

Để hai cực trị của hàm số nằm về hai phía đối nhau của trục hoành/tung, ta cần thỏa mãn điều kiện y_{CD} ⋅ y_{CT} < 0 hoặc x_{CD} ⋅ x_{CT} < 0.

Điều Kiện Để Hàm Số Có Hai Cực Trị Cùng Nằm Phía Trên/Phía Dưới Của Trục Hoành

Để hàm số có hai cực trị cùng nằm phía trên/phía dưới của trục hoành, ta cần thỏa mãn điều kiện y_{CD} = y_{CT} < 0 hoặc y_{CD} = y_{CT} > 0.

Điều Kiện Để Đồ Thị Hàm Số Có Hai Điểm Cực Trị Nằm Phía Đối Với Đường Thẳng D

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm phía đối với đường thẳng d có dạng Ax + By + C = 0, ta có phương trình:

Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0

Với M_1(x_1, y_1) và M_2(x_2, y_2) là điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số, ta có:

t_1 = Ax_1 + By_1 + C, t_2 = Ax_2 + By_2 + C

Nếu đồ thị có hai điểm cực trị nằm hai phía đường thẳng d, ta có phương trình có hai nghiệm phân biệt x_1 và x_2. Nếu đồ thị có hai điểm cực trị nằm cùng một phía đường thẳng d, ta có phương trình có hai nghiệm phân biệt x_1 và x_2.

Các Dạng Bài Tập Của Cực Trị Hàm Số Bậc Ba

Dạng 1: Tìm m để Hàm Số Đạt Cực Đại Hoặc C

Trong dạng bài tập này, chúng ta cần tìm giá trị của m để hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại một điểm xác định.

Các Điều Kiện Của Bài Toán Cực Trị

Trong toán học, để một hàm số đạt được hai cực trị, cần phải thỏa mãn một số điều kiện, bao gồm:

• a ≠ 0 và Δ > 0
• y_{CD} ⋅ y_{CT} < 0
• x_{CD} ⋅ x_{CT} < 0
• y_{CD} = y_{CT} < 0
• Các điểm cực trị nằm phía đối của một đường thẳng, đường tròn hoặc trục tọa độ.

Công thức tính cực trị hàm số bậc ba

Để tìm cực trị của một hàm số bậc ba, ta cần tìm đạo hàm của hàm số và giải phương trình y’ = 0 để tìm các giá trị của x. Sau đó, kiểm tra các giá trị này để xác định các cực trị của hàm số. Cụ thể:

1. Tính đạo hàm y’ = 3ax^2 + 2bx + c
2. Giải phương trình y’ = 0 để tìm các giá trị của x
3. Kiểm tra các giá trị x để xác định cực trị của hàm số

Các dạng bài tập về cực trị hàm số bậc ba

Các dạng bài tập thường gặp trong các đề thi bao gồm:

• Tìm tham số để hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại một điểm xác định.
• Tìm tham số để hàm số không có cực trị.
• Tìm tham số để hàm số có các điểm cực trị tạo thành các đỉnh của một tam giác vuông cân.

Để giải các dạng bài tập này, ta cần kết hợp nhiều kiến thức về hình học, dãy số, vv. với phương pháp tính cực trị đã được trình bày ở trên.

HEFC