Lý thuyết về Phương trình tích
A. Lý thuyết
- Phương trình tích và phương pháp giải
Phương trình tích có dạng A( x ).B( x ) = 0
Cách giải phương trình tích A( x ).B( x ) = 0 ⇔
Các bước giải phương trình tích:
Bước 1: Đưa phương trình về dạng tổng quát A( x ).B( x ) = 0 bằng cách:
- Chuyển tất cả các thành phần của phương trình về phía trái. Khi đó, phía phải bằng 0.
- Phân tích đa thức ở phía phải thành các nhân tử.
Bước 2: Giải phương trình và rút ra kết luận
Ví dụ 1: Giải phương trình ( x + 1 )( x + 4 ) = ( 2 – x )( 2 + x )
Lời giải:
Ta có: ( x + 1 )( x + 4 ) = ( 2 – x )( 2 + x ) ⇔ x2 + 5x + 4 = 4 – x2
⇔ 2×2 + 5x = 0 ⇔ x( 2x + 5 ) = 0
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { – 5/2; 0 }
Ví dụ 2: Giải phương trình x3 – x2 = 1 – x
Lời giải:
Ta có: x3 – x2 = 1 – x ⇔ x2( x – 1 ) = – ( x – 1 )
⇔ x2( x – 1 ) + ( x – 1 ) = 0 ⇔ ( x – 1 )( x2 + 1 ) = 0
( 1 ) ⇔ x – 1 = 0 ⇔ x = 1.
( 2 ) ⇔ x2 + 1 = 0 (Vô nghiệm vì x2 ≥ 0 ⇒ x2 + 1 ≥ 1 )
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { 1 }.
B. Bài tập tự luyện
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) ( 5x – 4 )( 4x + 6 ) = 0
b) ( x – 5 )( 3 – 2x )( 3x + 4 ) = 0
c) ( 2x + 1 )( x2 + 2 ) = 0
d) ( x – 2 )( 3x + 5 ) = ( 2x – 4 )( x + 1 )
Lời giải:
a) Ta có: ( 5x – 4 )( 4x + 6 ) = 0
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { – 3/2; 4/5 }.
b) Ta có: ( x – 5 )( 3 – 2x )( 3x + 4 ) = 0
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { – 4/3; 3/2; 5 }.
c) Ta có: ( 2x + 1 )( x2 + 2 ) = 0
Giải ( 1 ) ⇔ 2x + 1 = 0 ⇔ 2x = – 1 ⇔ x = – 1/2.
Ta có: x2 ≥ 0 ⇒ x2 + 2 ≥ 2 ∀ x ∈ R
⇒ Phương trình ( 2 ) vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = { – 1/2 }.
d) Ta có: ( x – 2 )( 3x + 5 ) = ( 2x – 4 )( x + 1 )
⇔ ( x – 2 )( 3x + 5 ) – 2( x – 2 )( x + 1 ) = 0
⇔ ( x – 2 )[ ( 3x + 5 ) – 2( x + 1 ) ] = 0
⇔ ( x – 2 )( x + 3 ) = 0
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { – 3; 2 }.
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) ( 2x + 7 )2 = 9( x + 2 )2
b) ( x2 – 1 )( x + 2 )( x – 3 ) = ( x – 1 )( x2 – 4 )( x + 5 )
c) ( 5×2 – 2x + 10 )2 = ( 3×2 + 10x – 8 )2
d) ( x2 + x )2 + 4( x2 + x ) – 12 = 0
Lời giải:
a) Ta có: ( 2x + 7 )2 = 9( x + 2 )2
⇔ ( 2x + 7 )2 – 9( x + 2 )2 = 0
⇔ [ ( 2x + 7 ) + 3( x + 2 ) ][ ( 2x + 7 ) – 3( x + 2 ) ] = 0
⇔ ( 5x + 13 )( 1 – x ) = 0
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { – 13/5; 1 }.
b) Ta có: ( x2 – 1 )( x + 2 )( x – 3 ) = ( x – 1 )( x2 – 4 )( x + 5 )
⇔ ( x2 – 1 )( x + 2 )( x – 3 ) – ( x – 1 )( x2 – 4 )( x + 5 ) = 0
⇔ ( x – 1 )( x + 1 )( x + 2 )( x – 3 ) – ( x – 1 )( x – 2 )( x + 2 )( x + 5 ) = 0
⇔ ( x – 1 )( x + 2 )[ ( x + 1 )( x – 3 ) – ( x – 2 )( x + 5 ) ] = 0
⇔ ( x – 1 )( x + 2 )[ ( x2 – 2x – 3 ) – ( x2 + 3x – 10 ) ] = 0
⇔ ( x – 1 )( x + 2 )( 7 – 5x ) = 0
Vậy phương trình có tập nghiệm là S = { – 2; 1; 7/5 }.
c) Ta có: ( 5×2 – 2x + 10 )2 = ( 3×2 + 10x – 8 )2
⇔ ( 5×2 – 2x + 10 )2 – ( 3×2 + 10x – 8 )2 = 0
⇔ [ ( 5×2 – 2x + 10 ) – ( 3×2 + 10x – 8 ) ][ ( 5×2 – 2x + 10 ) + ( 3×2 + 10x – 8 ) ] = 0
⇔ ( 2×2 – 12x + 18 )( 8×2 + 8x + 2 ) = 0
⇔ 4( x2 – 6x + 9 )( 4×2 + 4x + 1 ) = 0
⇔ 4( x – 3 )2( 2x + 1 )2 = 0
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = { – 1/2; 3 }.
d) Ta có: ( x2 + x )2 + 4( x2 + x ) – 12 = 0
Đặt t = x2 + x, khi đó phương trình trở thành:
t2 + 4t – 12 = 0 ⇔ ( t + 6 )( t – 2 ) = 0
-
Với t = – 6, ta có: x2 + x = – 6 ⇔ x2 + x + 6 = 0 ⇔ ( x + 1/2 )2 + 23/4 = 0
Mà ( x + 1/2 )2 + 23/4 ≥ 23/4 ∀ x ∈ R ⇒ Phương trình này vô nghiệm.
-
Với t = 2, ta có x2 + x = 2 ⇔ x2 + x – 2 = 0
⇔ ( x + 2 )( x – 1 ) = 0 ⇔
Vậy phương trình có tập nghiệm là S = { – 2; 1 }.
HEFC đã chỉnh sửa đoạn văn này. Xem thêm chi tiết tại HEFC
